Min undervisningsfilosofi – Matematikkundervisning med dybde

Matematikkundervisning med dybde

Min undervisningsfilosofi

«In the real world we use computers for calculating, almost universally;
in education we use people for calculating, almost universally.»

– Conrad Wolfram

«Mathematics is not about numbers, equations, computations, or algorithms:
it is about understanding.»

-William Thurston

 

Jeg underviser per nå i grunnleggende matematikk og kjemi på forkurset i Narvik. Jeg har jobbet som lærer i fire år og ser at med tiden så kommer erfaring og med dette kommer nye tanker om hvordan jeg mener undervisning bør bedrives. Denne tekst skal bare ses på som en del av de refleksjoner jeg gjort disse årene. Klassene jeg underviser er på ca. 20 studenter og dette gir mulighet til tett oppfølging av den enkelte og gjør det mulig å innføre forandringer i undervisningen som kanskje ikke er mulig i større klasser.

Fokus i denne teksten ligger på matematikkfaget men mange av tankene kan også appliseres på kjemifaget.

 

Introduksjon

Hva er hensikten med å lære seg matematikk? Er det for å kunne utføre kompliserte beregninger når man kommer ut i arbeidslivet? Tidligere var det sikkert til dels så men dette er neppe realiteten for de fleste ingeniører lenger.

Matematikk er et grunnleggende fag fordi så mange andre fag bygger på det. Fysikk, kjemi, konstruksjonsteknikk, automasjon, statistikk, økonomi, datavitenskap osv.

Er det for å kunne utføre beregninger i disse fagene som vi trenger matematikk? Til dels er svaret ja men det ikke selve beregningene som jeg mener er hovedpoenget. Det er for å forstå disse andre fagene som vi trenger matematikk! En ingeniør må ha matematisk kunnskap for å kunne forstå og modellere prosesser i ulike sammenhenger, for å ha et språk egnet til å beskrive hva som skjer i et system og for å vite hvilke beregninger som er nødvendige for å løse et problem. Ingeniørens oppgaver er sjeldent avhengig av individets evne å utføre beregninger men ofte avhengig av evnen å vite hvilke beregninger som må utføres. Om vi på universitetet har som mål å utdanne flinke ingeniører må vi forme utdanningen etter de krav arbeidslivet kommer at stille på dem etter hvert. Når det gjelder matematikk mener jeg at vi må i større grad dreie oss bort fra et beregningsregime til et mer forståelsesfokusert regime.

Når jeg ser på hva som karakteriserer mitt idealbilde av en lærer så er det en person som veileder studenter til å reflektere, diskutere og til slutt forstå. Det er dette som utgjør kjernen i min undervisningsfilosofi.

 

Begrunnelse for min undervisningsfilosofi

Antall ting man skal lære på et år når man leser forkurs-matte er stort. Mange ganger er det overveldende mye for de som er midt oppe i det. «Hvordan i all verden skal jeg kunne lære meg alt dette før eksamen?». Mengden stoff er stort men det er ikke så overveldende som det første inntrykket kan få det å virke som. Grunnen til at stoffmengden innledningsvis ser stor ut beror til stor del på at studentene ikke klarer å se hvordan de ulike delene henger sammen uten de ser bare en masse løse tråder. For den som kan se koblingene mellom delene fremstår problemet som så mye mindre. I løpet av et skoleår lages disse viktige koblingene i større og større grad men dessverre kommer mange studenter helt til eksamen med altfor mange løse tråder og da blir ofte også resultatet deretter.

Dette mener jeg kommer seg av mangel på dybdelæring. Studentene jobber i timene og får riktig svar på noen oppgaver og er fornøyd med det. Men når jeg går rundt i klasserommet og snakker med studentene merker jeg at mange allikevel ikke forstår oppgavene de nettopp har gjort. «Jeg husker ikke…» er et vanlig svar på spørsmål der jeg egentlig forventer meg at studentene resonnerer seg frem til svaret. Oppgaveløsning er for mange mer eller mindre en øvelse i å huske en oppskrift på hvordan man løser oppgaven. Det er ikke dybdelæring, forståelse, som er målet for læring men å få riktig svar på en oppgave.

Dessverre ser jeg at lærebøker legger til rette for slik tenking ved å lære studenter formler og snarveier for alle mulige ting hvor forståelse eller bakgrunnskunnskap hadde vært et mye bedre grunnlag for videre læring. Dette bekrefter bare studentenes inntrykk av at det som er viktig er å huske ting.

Når jeg studerte matematikk på universitetet brukte vi mye tid på å lære bevis. Jeg gjorde som mange andre og prøvde å lære bevisene utenat og det gikk ikke særlig bra. Jeg tror mine læreres intensjoner var at vi skulle reflektere over logikken i bevisene og forstå dem men det var ikke noe jeg fikk med meg. For meg var det en øvelse i hukommelse.

Hukommelse er selvfølgelig en viktig del i en læringsprosess, forståelse bygger til dels på hukommelse (tidligere læring) men det bør ikke være hovedpoenget uten heller en konsekvens av å ha reflektert i dybden over prinsipper og hensikter. Det man husker fra før er dessuten ting man forstått da man lærte det. Det å kunne bruke formler og «mekanisk» oppgaveløsning er også en del i det å lære seg matematikk, mye nytte kommer ut av det, men matte-undervisningen bør ikke primært fokusere på å «regne ut» ting fordi det er ikke det som primært vil lære ut og det er ikke det som er mest effektivt for dybdelæring. Dybdelæring kommer av refleksjon over matematiske prinsipper og logikk og av å prøve å se hele bildet, å finne sammenhenger mellom de inngående delene.

Ramsden (2003) [1] forteller om et eksperiment hvor noen studenter fikk lese en tekst og ble deretter testet på hvor godt de hadde forstått teksten. En gruppe studenter som viste dårlig forståelse hadde noen fellestrekk.

Disse studentene

  • forsto ikke poenget med artikkelen. De husket bare noen deler av det.
  • lette ikke etter forfatterens hensikt med teksten
  • kunne ikke forstå artikkelen fordi de ikke hadde intensjoner om å forstå det.
  • var fokusert på tekstens ord og setninger, snarere enn på meningen som disse ordene og setningene var ment å formidle
  • var ikke personlig involvert i oppgaven. De så det som en ekstern påføring – en jobb de måtte fullføre for noe formål utenfor seg selv.
  • forsøkte fortvilt å huske hva som var i artikkelen

Ramsden summerer:

«As a consequence of using this approach, these students found it hard to distinguish between principles and examples, between evidence and conclusions, between main points and secondary details. They were also less likely than the others to remember the ideas and facts.»[1]

Studentene som var fokusert på å huske var altså de studentene som til slutt husket minst. Læringen var overfladisk.

Samme mener jeg er tilfelle i matematikkundervisningen. Studenter bør løse oppgaver og gjerne mange av dem. Men hensikten med oppgaveløsningen bør ikke være å få riktig svar uten å reflektere over prinsipper og se sammenhenger. Fokuset må være forståelse og beregningene er i seg selv ikke det viktigste momentet for å oppnå dette. Jeg tror heller at beregninger i den grad de er nødvendige blir så mye enklere og mer givende om man først lærer hva beregningene betyr.

Et enkelt eksempel kan være regnestykket 5*(1/3). I slike fall lærer vi ofte studentene at femtallet «hører til» telleren i brøken, dvs . (5*1)/3. En student som lærer å huske denne regelen kan enkelt regne ut at svaret er 5/3. Det er bra at studenten kan beregne dette men hvis ikke studenten skjønner hvorfor regelen gjelder er det lite tilfredsstillende. Hvis en student ikke forstår at 5*(1/3) betyr at man skal ta én tredjedel fem ganger og at man dermed selvfølgelig får fem stykk tredjedeler  så kan man ikke si at den studenten kan matematikken selv om studenten kan finne riktig svar.

Vi vil lære våre studenter matematikk men hva mener vi med det? Vi mener ikke at de skal kunne utføre  beregninger fordi det skulle bety at vi prøver å lære opp studenter på et område hvor de aldri noensinne kan gjøre noen nytte siden datamaskiner er så mye raskere på dette. Det vi ønsker å gjøre er å lære studenter forstå matematiske konsepter og sammenhenger slik at de kan finne ut av hvilke beregninger som må utføres for en gitt problemstilling og slik at de kan tolke resultatene av beregningen. Det vi mennesker er flinke til er å stille spørsmål, formulere problemstillinger i matematisk språk, evaluere resultat og koble resultatene mot den virkelige verden. Dvs. å tenke og forstå. Det vi ikke er så flinke til, det vi gjør langsomt, er å utføre beregninger.

Det datamaskiner er flinke til, noe de gjør kjempe-raskt, er å utføre beregninger. Noe datamaskiner ikke kan i det hele tatt er å stille spørsmål, formulere problemstillinger i matematisk språk, evaluere resultat og koble resultatene mot den virkelige verden.

Jeg mener at matte-undervisningen bør dreie seg mer bort fra den delen i matematikken der vi har gode verktøy for oppgaven og isteden fokusere mer på de delene hvor vi mennesker trengs, på de områdene hvor en ingeniør kan fylle sin funksjon. Min filosofi er at målet for undervisningen skal være forståelse av matematikken, ikke å kunne utføre beregninger.

Hvordan kan man få til denne endringen? Primært tror jeg det handler det om hva vi som lærere viser at vi forventer oss av studentene og vi viser dette med hva vektlegger i undervisningen og på prøver, hvilke typer oppgaver vi gir studentene og hvilke spørsmål vi stiller.

Studentene kommer til oss og ønsker å få gode karakterer og har en oppfatning, dannet i tidligere skole, av hva som skal til for å oppnå dette. I matematikk er det ofte at man skal kunne finne riktig svar på oppgaver. Om denne oppfatning ikke stemmer med hva vi ønsker å oppnå må vi så tidlig som mulig forandre studentenes måte å se på matematikkfaget. Studentene er som mest formbare tidlig i studiene og derfor har vi på forkurset med få studenter en god mulighet å få dette til.

Hva gjelder forelesninger må vi tenke på om vi skal bruke mesteparten av forelesningene til å for eksempel derivere eller om vi skal bruke tiden til å forstå hva derivasjon er og hva vi skal bruke det til? Ber vi studentene løse likninger på timene eller ber vi dem forstå hva likninger er, og løse problemer hvor likninger er en del av løsningen? Ber vi studentene beregne statistiske parametere ut fra et datasett eller ber vi dem tolke betydningen av beregningene? Når vi hjelper studentene med oppgaver skal vi ikke være fornøyde med at de funnet riktig svar men stille spørsmål som får studentene å reflektere over problemstillingen. Hva betyr det? Hva skulle skje hvis…? Hva har du lært? Hvordan tenkte du?

Studentens bilde av hva som er viktig forandrer seg etter hvert som de lærer å forutsi hva læreren forventer seg. Om læreren forventer seg at studenten skal kunne finne riktig svar på en matematikkoppgave er det i beste fall det studenten kommer å lære seg. Om vi lærere gjør det helt klart at vi forventer oss at studentene skal reflektere og forstå er det større sannsynlighet for at de oppnår dette. Jo mer de lærer at det er dybdelæring vi forventer oss desto mer dybdelæring blir det.

I eksemplet fra Ramsden 2003 så var et av problemene med studentene som ikke klarte å forstå teksten at de ikke hadde intensjon om å forstå. Dette kan jeg se er et problem bland mine studenter også. De er fornøyde når svaret stemmer med fasit uansett hvordan man kom fram til det eller om man lært noe av oppgaven. Jeg tror ikke studentene gjør dette bevisst uten det er bare slik de alltid har gjort. Jeg merker at jeg bruker mer og mer av min tid i klasserommet til å minne studentene på at hvis de ikke har lært noe av oppgaven er tiden de brukt for å løse oppgaven i stort sett bortkastet. Studentene viser at de skjønner dette poenget og er ofte klar for å gjøre endringer.

En annen fordel med økt dybdelæring er at gleden til et fag til stor del er avhengig av mestringsfølelsen. Stor mestringsfølelse gjør at man gleder seg over faget som igjen gir et bedre grunnlag for videre læring. Vi må få til denne oppadgående spiral så tidlig som mulig fordi det omvendte kan fort skje.

 

Konkrete forandringer i min undervisning basert på min filosofi

I mine timer har jeg begynt å innføre nye verktøy, strategier og aktiviteter for å få studentene til å reflektere over og forstå de matematiske prinsippene vi går gjennom på forkurset (nivå 3 i Biggs 1999 [2]). Per i dag skjer den meste av undervisningen på tradisjonelt vis med forelesninger og oppgaveløsning og det kommer å være i fortsettelsen også men jeg følgende forandringer blir nå innført.

  • Mer gruppearbeid
  • Mer omfattende bruk av digitale verktøy.
  • Andre typer av oppgaver på timer og på innleveringer

Gruppearbeid har til hensikt å aktivisere studentene og for å få dem til å «snakke fag». Mange er veldig ineffektive på timene og det sitter langt inne for mange å be om hjelp. Med gruppearbeid ser vi at studentene jobber effektivt hele timen og får enten hjelp av gruppemedlemmene eller så er det noen i gruppen som tar initiativ om å spørre. Ved å jobbe i lag kommer språket også mer i bruk og dette har minst to hensikter. For det første gjør det at de raskere lærer seg matematisk terminologi som er viktig for å forstå bland annet forelesninger og de lærer seg også å uttrykke seg matematisk korrekt. For det andre, og det kan være det viktigste, er at forståelsen kommer ved bruk av språk. Mye læring skjer ved kommunikasjon og i samhandling med andre. (Vygotskij) [3]

Digitale verktøy blir å få en større plass i undervisningen. I dag bruker vi kalkulator for å tegne grafer med mer, og så bruker jeg Geogebra for å visualisere deler av matematikken på forelesningene. Jeg har som hensikt å innføre Geogebra til studentene for daglig bruk i mattetimen. Å få en visuell representasjon er viktig for alle og helt essensielt for mange for å forstå både teori og problemstillinger og i tillegg hjelper visuelle inntrykk med langtidshukommelsen. Studentene oppfordres å tegne egne bilder som hjelp ved problemløsning men mange ganger er et digitalt verktøy nødvendig for å gi en god representasjon. I matematikken er Geogebra et bra slikt verktøy og derfor er det bra om studentene får lære seg det. Ved at alle får bruke verktøyet daglig er forhåpningen om at det etter hvert blir helt naturlig for dem å bruke visualiseringsverktøy for å løse nye problemer. Geogebra kan også brukes for å utføre beregningene til problemer som er for kompliserte for å utføres manuelt. Dermed kan studentene få vanskeligere/mer kompliserte oppgaver enn før.

Spørsmålene vi stiller studentene burde som sagt tidligere være mer rettet mot forståelse. Oppgaver hvor studentene blir bedt om å forklare noe (Hvordan…?, Hvorfor…, Hva skjer hvis…?) kan være et alternativ til vanlige beregninger.  Studentene skal også besvare vanlige beregningsoppgaver med hjelp av vanlig språk istedenfor med formler og tall. Også dette punkt har til hensikt å få studentene å bruke språket mer. Dersom man klarer å forklare hva man ønsker å få til og beskrive hvordan man skal gå til veie er sannsynligvis forståelsen ikke langt unna.

 

Avslutning

I teorien om «Constructive Alignment» (CA) [4] så skal undervisning og læringsaktiviteter tilpasses de mål man har for læringen. Dersom forståelse er målet med matematikkundervisningen må det vi gjør på timene legge til rette for att forståelse også blir studentenes mål med studiene og slik at dette kan oppnås på best mulig måte. Disse tiltakene jeg har tatt opp i denne teksten tror jeg er riktig vei å gå.

Men CA sier også at prøveformen må tilpasses læringsmålet. Jeg håper at både lærebok og hvordan forkurseksamen foregår skal forandres med tiden. Per i dag er eksamen og lærebok felles for alle forkurs i Norge og er i stor grad fokusert på at studentene skal utføre beregninger. Jeg har ikke kontroll over disse faktorene men håper å kunne bidra til at de forandringer som skjer skal være i riktig retning.

Jeg har stor tro på at disse teoriene og forandringene som vil skje som et resultat av dem kommer å få positive konsekvenser for studentenes mestring av matematikkfaget.

[1] Ramsden, P. (2003). Approaches to Learning. Kap 4 i Learning to Teach in Higher Education.
[2] Biggs, J. What the student does: teaching for enhanced learning. Higher Education Research & Development, Vol 18, No.1, 1999
[3] Dysthe Igland (2001). M.A. Vygotskij og sosiokulturell teori.
[4] Biggs, J (2003): Aligning Teaching and Assessment to Curriculum Objectives, (Imaginative Curriculum Project, LTSN Generic Centre)